O aplicativo web conta com o aplicativo em execução em seu telefone por isso, se a sua bateria morre no seu dispositivo, o aplicativo web pára de funcionar. WhatsApp recomenda ter o seu telefone Android conectado à rede Wi-Fi para reduzir o uso de dados, que podem acumular-se se você compartilhar um monte de imagens usando o WhatsApp. Parece que Baixar Whatsapp não suporta o cliente web como ainda (verificado no Moto X rodando WhatsApp versão 2.11.498). A próxima atualização deve trazer o recurso para Android. Vamos torcer para ser lançado em breve.
Fonte: http://www.baixarwhatsapp.biz/whatsapp-finalmente-permite-conversar-em-seu-computador-usando-o-chrome.html